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limx趋向于0+,lim(1/sinx)^tAnx,用洛必达法则求极限

把整个式子放到e的指数上,即原式=lim(x-0+) e^(tanx*ln1/sinx),然后把tanx看成除以cotx,所以变成∞/∞型,利用L'Hospital可得原式=e^0=1

原式=lim(x->0)[1+(tanx-sinx)/(1+sinx)]^(1/x³) =e^[lim(x->0)(tanx-sinx)/x³(1+sinx)] =e^[lim(x->0)tanx(1-cosx)/x³] =e^[lim(x->0)(x·x²/2)/x³] =e^(1/2)

lim [(1+tanx)/(1+sinx)]^(1/x^3) =lim [1+(tanx-sinx)/(1+sinx)]^[(1+sinx)/(tanx-sinx)*(tanx-sinx)/(1+sinx)*1/x^3] =e^lim (tanx-sinx)/x^3 * 1/(1+sinx) =e^lim tanx(1-cosx)/x^3*1/(1+0) =e^lim (x*x^2/2)/x^3 =e^(1/2) =√e

用柯西中值定理,令f(x)=√(1+x),g(x)=e^x,显然在[sinx,tanx](或[tanx,sinx])上满足定理使用的条件. 那么在tanx和sinx之间存在ξ,使原式=[1/2√(1+ξ)]/e^ξ 当x→0时,tanx→sinx,即ξ→0 ∴原式=1/2

lim(x->0+) (1/x)^tanx =lim(x->0+) e^{ln[(1/x)^tanx]} =lim(x->0+) e^{ -tanxlnx } = e^{ - lim(x->0+) (tanx/x) [(lnx)/(1/x)] } = e^{ - lim(x->0+) (tanx/x) [(1/x)/(-1/x²)] } = e^{ - 1*0 } = 1 【解二:由 lim(x->0+) x^x = 1 】 l...

不能用等价无穷小也不能用洛必达法则,如果用等价无穷小就变成了1/x-1/x。而洛必达只能无穷比无穷或者零比零的时候用

可以用等价替换无穷小量的方法计算。

不详

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