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limx趋向于0+,lim(1/sinx)^tAnx,用洛必达法则求极限

把整个式子放到e的指数上,即原式=lim(x-0+) e^(tanx*ln1/sinx),然后把tanx看成除以cotx,所以变成∞/∞型,利用L'Hospital可得原式=e^0=1

原式=lim(x->0)[1+(tanx-sinx)/(1+sinx)]^(1/x³) =e^[lim(x->0)(tanx-sinx)/x³(1+sinx)] =e^[lim(x->0)tanx(1-cosx)/x³] =e^[lim(x->0)(x·x²/2)/x³] =e^(1/2)

第一个问题:你试试把1写成(1+sinx)/(1+sinx),一合并就是原式子了。 第二个问题:分子是(1+sinx)*x^3,乘号两边可以互换 第三个问题:tanx-sinx 提取一个sinx出来,化简即可 第四个问题:x趋近于0时,tanx和x是等价无穷小,1-cosx等价于1...

lim [(1+tanx)/(1+sinx)]^(1/x^3) =lim [1+(tanx-sinx)/(1+sinx)]^[(1+sinx)/(tanx-sinx)*(tanx-sinx)/(1+sinx)*1/x^3] =e^lim (tanx-sinx)/x^3 * 1/(1+sinx) =e^lim tanx(1-cosx)/x^3*1/(1+0) =e^lim (x*x^2/2)/x^3 =e^(1/2) =√e

用柯西中值定理,令f(x)=√(1+x),g(x)=e^x,显然在[sinx,tanx](或[tanx,sinx])上满足定理使用的条件. 那么在tanx和sinx之间存在ξ,使原式=[1/2√(1+ξ)]/e^ξ 当x→0时,tanx→sinx,即ξ→0 ∴原式=1/2

适当的括号是必须的,免得产生歧义: lim(x趋近于0){[√(1+tanx)-√(1+sinx)]/[xln(1+x)-x^2]}, 手机不好写,给个提示: 分子有理化,得到 (tanx-sinx)[√(1+tanx)+√(1+sinx)], 分母可以先求极限;分子与其它项用罗必达法则,……。

lim(x→0)[√(1+tanx)-√(1+sinx)]/[x*ln(1+x)-x^2] =lim(x→0)[tanx-sinx]/[x*ln(1+x)-x^2][√(1+tanx)+√(1+sinx)] =lim(x→0)[tanx-sinx]/2[x*ln(1+x)-x^2] 洛必达法则 =lim(x→0)[sec^2x-cosx]/2[x/(1+x)+ln(1+x)-2x] =lim(x→0)[(1-cos^3(x))/cos^2(...

原式=lim(x->0)[(1-cosx)/(xsinx)] =lim(x->0)[(0.5x^2)/x^2] =0.5

可以用等价替换无穷小量的方法计算。

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